Среднее геометрическое взвешенное

Среднее геометрическое взвешенное — разновидность среднего значения, обобщение среднего геометрического. Для набора неотрицательных вещественных чисел [math]\displaystyle{ x_1, \ldots, x_n }[/math] с вещественными весами [math]\displaystyle{ w_1, \ldots, w_n }[/math], такими что [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n w_i \ne 0 }[/math], определяется как

[math]\displaystyle{ \bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i} \; \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i \right) }[/math].

Приведённые формулы имеют смысл для любых значений весов, кроме случаев, когда некоторые [math]\displaystyle{ x_i=0 }[/math] и соответствующие веса [math]\displaystyle{ w_i \le 0 }[/math]. Поэтому, как правило, полагают, что все числа [math]\displaystyle{ x_i \gt 0 }[/math]. Также обычно рассматриваются неотрицательные веса.

Если веса [math]\displaystyle{ w_1, \ldots, w_n }[/math] нормированы к единице (то есть их сумма равна единице), то среднее геометрическое взвешенное принимает более простой вид:

[math]\displaystyle{ \bar{x} = \prod_{i=1}^n x_i^{w_i} = \exp \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i }[/math].

Свойства

• Среднее арифметическое взвешенное логарифмов некоторых чисел равно логарифму среднего геометрического взвешенного этих чисел с теми же весами.
• Если все веса [math]\displaystyle{ w_i }[/math] ([math]\displaystyle{ i=1, 2, ..., n }[/math]) равны между собой, то среднее геометрическое взвешенное становится обычным средним геометрическим.

Пример использования

Пусть дано дискретное распределение вероятностей [math]\displaystyle{ P = \{p_i|\,i=1, 2, ..., N\} }[/math]. Обозначим через [math]\displaystyle{ \overline{N} }[/math] среднее геометрическое взвешенное от величин [math]\displaystyle{ 1/p_i }[/math] с весами [math]\displaystyle{ p_i }[/math], т.е.

[math]\displaystyle{ \overline{N}=\prod_{i=1}^N {(1/p_i)}^{p_i} }[/math].

Тогда энтропию Шеннона распределения [math]\displaystyle{ P }[/math] можно записать в виде

[math]\displaystyle{ H(P)=\log \overline{N}=-\sum_{i=1}^N p_i \log p_i }[/math].

Величина [math]\displaystyle{ \overline{N} }[/math] интерпретируется как эффективное количество состояний системы.